matematika

A. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Sifat komutatif

Perhatikan kembali halaman sebelumnya.Coba masukkan termometer ke dalam lemari es! Catatlah berapa suhunya! Kemudian masukkan termometer lain ke dalam air panas dan catat suhunya! Selanjutnya, jumlahkan hasil pengukuran suhu tersebut! Dapatkah dengan cara lain? Agar lebih jelas perhatikan uraian berikut!

a. Sifat komutatif penjumlahan

Bagaimanakah hasil 40 + 30 dan 30 + 40?

Apakah 25 + (–50) dan (–50) + 25 hasilnya sama?

Ayo kita hitung.

1.     40 + 30 = 30 + 40

        70 = 70

2.     25 + (–50) = –50 + 25

          –25 = –25

Ternyata hasilnya sama. Sekarang, perhatikan penggunaan sifat komutatif  untuk contoh berikut.

Contoh:

1. 75 + 89 + 25 = ....

2. 127 + 185 + (–127) = ....

Jawab:

1. 75 + 89 + 25 = 75 + 25 + 89

164 + 25 = 100 + 89

        189 = 189

2. 127 + 185 + (–127) = 127 + (–127) + 185

    312 + (–127) = 0 + 185

                            185 = 185

Bagaimana? Kamu lebih mudah menghitung dengan sifat komutatif.

B. Sifat komutatif perkalian

Samakah hasil perkalian 25 x 4 dan 4 x 25?

Bagaimanakah dengan hasil perkalian 36 x (–12)? Mari kita hitung.

25 x 4 = 4 x 25

    100 = 100

36 x (–12) = –12 x 36

         –432 = –432

Ternyata hasilnya tetap sama. Sekarang, perhatikan penggunaan sifat komutatif untuk contoh berikut. Hitunglah nilai dari:

Contoh:

1. 2 x (–9) x 5 = ….

2. 25 x 13 x 4 = ….

Jawab:

1. 2 x (–9) x 5 = 2 x 5 x (–9)

–18 x 5 = 10 x (–9)

      –90 = –90

2. 25 x 13 x 4 = 25 x 4 x 13

325 x 4 = 100 x 13

   1.300 = 1.300

Sifat komutatif berlaku untuk penjumlahan dan perkalian

c. Sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian

Sifat komutatif berlaku pada penjumlahah dan perkalian. Bagaimana dengan sifat komutatif pada pengurangan dan pembagian? Ayo, kamu selidiki hasil sifat pertukaran (komutatif) pada pengurangan.

7 – 5 = ....

Sekarang tukarkan posisinya menjadi

5 – 7 = ....

Apakah hasilnya sama?

2 tidak sama dengan (–2). Artinya, tidak berlaku sifat komutatif pada pengurangan.

Sekarang selidiki sifat komutatif pada operasi pembagian.

10 : 2 = ....

Sekarang tukarkan posisinya

2 : 10 = ....

Berapakah hasilnya?

10 : 2 = 5 sedangkan 2 : 10 =  =

5 tidak sama dengan  Artinya sifat komutatif tidak berlaku pada pembagian. Apa yang dapat kamu simpulkan?

Sifat komutatif tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.

2. Sifat asosiatif

Sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokan. Penjumlahan atau perkalian bilangan bulat dapat dikelompokkan secara berbeda. Hasilnya tetap sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sifat berikut.

a. Sifat asosiatif terhadap penjumlahan

Hitunglah hasil

(20 + 30) + 40 dan 20 + (30 + 40).

(20 + 30) + 40 = 20 + (30 + 40)

50 + 40 = 20 + 70

                  90 = 90

Apakah hasil (35 + 40) + (–85) dan 35 + (40 + (–85)) sama?

(35 + 40) + (–85) = 35 + (40 + (–85)

75 + (–85) = 35 + (–45)

          –10 = –10

Ternyata hasilnya sama. Perhatikan penggunaan sifat asosiatif untuk contoh berikut.

Contoh:

Hitunglah nilai dari:

1. (125 + 70) + 30 = ....

2. (540 + 375) + (–375) = ....

Jawab:

1. (125 + 70) + 30 = 125 + (70 + 30)

     195 + 30 = 125 + 100

             225 = 225

2. (540 + 375) + (–375) = 540 + (375 + (–375))

           915 – 375 = 540 + 0

540 = 540

Sifat asosiatif berlaku untuk penjumlahan

b. Sifat asosiatif terhadap perkalian

Bagaimana hasil perkalian (2 x 3) x (–4) sama dengan 2 x (3 x(–4))?

(2 x3) x (–4) = 2 x (3 x (–4))

       6 x (–4) = 2 x (–12)

            –24 = –24

Contoh:

((–25) x 12) x 4= –25x (12 x 4)

          –300 x 4 = –25 x 48

           –1.200 = –1.200

3. Sifat distributif

Sifat distributif adalah sifat penyebaran. Artinya penyebaran operasi perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan.

a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Contoh:

25 x (20 + 4) = (25 x 20) + (25 x 4)

        25 x 24 = 500 + 100

              600 = 600

Terbukti hasilnya sama. Sekarang, perhatikan penggunaan sifat distributif untuk contoh berikut.

Contoh:

1. 75 x108 = ....

2. (63 x 54) + (63 x 46) = ....

Jawab:

1. 75 x 108 = 75 x (100 + 8)

         = (75 x 100) + (75 x8)

                   = 7.500 + 600

                   = 8.100

2. (63 x54) + (63 x 46) = 63 x (54 + 46)

       = 63 x 100

       = 6.300

b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Contoh:

25 x (25 – 5) = (25x 25) – (25 x 5)

        25 x 20 = 625 – 125

              500 = 500

Terbukti hasilnya sama. Perhatikan penggunaan sifat distributif untuk contoh berikut.

Contoh:

Selesaikan:

1. 125 x 99 = ....

2. (120 ¥ 111) – (120 x 11) = ....

Jawab:

1. 125x 99 = 125 x (100 – 1)

        = (125 x 100) – (125 x1)

        = 12.500 – 125

        = 12.375

2. (120 x 111) – (120 x 11) = 120 x (111 – 11)

    = 120 x 100

    = 12.000

4. Sifat identitas

Masih ingatkah kamu sifat identitas di kelas IV? Sifat identitas merupakan sifat operasi terhadap bilangan identitas. Hasilnya merupakan bilangan itu sendiri. Identitas pada penjumlahan adalah nol (0). Adapun identitas pada operasi perkalian adalah 1 (satu).

Contoh:

234 + 0 = 0 + 234 = 234

99 x 1 = 1 x 99 = 99